Курс физики . Страница 241 (Добавлена 2012-05-26 21:12)
Тогда уравнение колебаний частиц, лежащих в плоскости х, имеет вид
(154.1)
откуда следует, что ?(х, t) является не только периодической функцией времени, но и периодической функцией координаты х. Уравнение (154.1) есть уравнение бегущей волны. Если плоская волна распространяется в противоположном направлении, то
В общем случае уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси х в среде, не поглощающей энергию, имеет вид
(154.2)
где А = const ? амплитуда волны, ? — циклическая частота, ?0 — начальная фаза волны, определяемая в общем случае выбором начал отсчета х и t, [? (t—x/v)+ ?0] — фаза плоской волны.
Для характеристики волн используется волновое число
(154.3)
Учитывая (154.3), уравнению (154.2) можно придать вид
(154.4)
Уравнение волны, распространяющейся вдоль отрицательного направления оси х, отличается от (154.4) только знаком члена kx.
Основываясь на формуле Эйлера (140.7), уравнение плоской волны можно записать в виде
где физический смысл имеет лишь действительная часть (см. § 140). Предположим, что при волновом процессе фаза постоянна, т. е.
(154.5)
Продифференцировав выражение (154.5) и сократив на ?, получим откуда
(154.6)
Следовательно, скорость v распространения волны в уравнении (154.6) есть не что иное, как скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью.
Повторяя ход рассуждений для плоской волны, можно доказать, что уравнение сферической волны ? волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как
(154.7)
где r ? расстояние от центра волны до рассматриваемой точки среды. В случае сферической волны даже в среде, не поглощающей энергию, амплитуда колебаний не остается постоянной, а убывает с расстоянием по закону 1/r. Уравнение (154.7) справедливо лишь для r, значительно превышающих размеры источника (тогда источник колебаний можно считать точечным).
Из выражения (154.3) вытекает, что фазовая скорость
(154.8)
Если фазовая скорость воли в среде зависит от их частоты, то это явление называют дисперсией волн, а среда, в которой наблюдается дисперсия волн, называется диспергирующей средой.
Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением ? дифференциальным уравнением в частных производных
или
(154.9)
где v ? фазовая скорость, ? оператор Лапласа. Решением уравнения (154.9) является уравнение любой волны. Соответствующей подстановкой можно убедиться, что уравнению (154.9) удовлетворяют, в частности, плоская волна (см. (154.
Предыдущая страница |
Следующая страница
|